6.2 CONSIDERAZIONI FISICHE SULLA MASSA DEL FOTONE
N. B.- In questo annesso valgono le seguenti convenzioni ed unità di misura:
c = velocità della luce nel vuoto [ l t-1 ]
m = massa [ m ]
E = forza elettromotrice [ l2 m t-3 i-1 ]
H = forza magnetica [ i l-1 ]
B = induzione magnetica [ m t-2 i-1 ]
s = Spazio [ l ]
t = Tempo [ t ]
e0 = costante dielettrica assoluta [ l-3 m-1 t4 i2 ]
m0 = permeabilità assoluta [ l m t-2 i-2 ]
Partiamo dall’equazione (21) che è una conseguenza delle nostre considerazioni precedenti. Tale equazione, che è stata proposta come quinta equazione di Maxwell, è riportata qui di seguito:
(21) òò E /\ H ds dt = - K m c2 [_ sen(wmt + jm)]
Essa è, però, di difficile integrazione, a meno di non fare alcune osservazioni, derivate da quanto abbiamo fin ora detto. Se è vero che lo spin si conserva e se è vero che una variazione del campo elettrico oppure di quello magnetico, indipendentemente l’una dall’altra, producono una identica variazione dell‘Energia potenziale (questa è la causa della comparsa di un 2 a moltiplicare il termine a destra dell’equazione sottoriportata), che è legata alla massa del fotone, possiamo riscrivere l’integrale nel seguente modo (siamo nel sistema di assi S-T-U, quindi in luogo di ds e dt useremo dS e dT). Indicando più propriamente le densita’ di energie associate al campo elettrico e magnetico rispettivamente con UE ed UB avremo:
òò UE /\ UB dS dT = 2 . ò [K . m . c2 . sen(wmm + jm)]dm
Da tale espressione, essendo secondo le nostre ipotesi U
E indipendente dalle variazioni di T ed U
B indipendente da quelle di S, si ricava:
(dT. dS) . ( ò UE dS /\ ò UB dT) = 2 . K . ò
m . c2 . [sen(wmm + jm)]dm
[t l] [mlt-2][l] [ml-1t-2][t] = [k] [ml2t-2] [m]
dove l’angolo
wm assume valori compresi tra 0 e 2
p.
Quindi:
(22) dT . dS . ò UE dS /\ ò UB dT = 2K . ò m . c2 . [sen(wmm + jm)]dm
Inoltre tenendo conto del fatto che
in un’onda elettromagnetica istante per istante la "densità di Energia associata al campo Elettrico è uguale a quella associata al campo Magnetico e le due energie valgono:
(23) UE = ½ . e0.E2 ; UB = ½ . (B2/ m0) espresse in J/m3
[m l t-2] [m l-1 t-2]
Tale valore deve però essere integrato in tutto il periodo di oscillazione, tenendo presente che le variazioni di E sono descrivibili nello Spazio e le variazioni di B sono descrivibili nel Tempo, mentre le variazioni di Energia gravitazionale sono descrivibili ed integrabili come variazione di massa del fotone.
Possiamo, quindi, raggruppare l’integrale in parti che contengano solo variabili del Tempo, dello Spazio e della massa del fotone.
Dunque il risultato diviene il seguente:
(24) ò½.(e0.E2)dS /\ ò[(½.B2) / m0]dT = [2.K.òm . c2. sen(wmm + jm)dm] / (dT.dS)
Secondo Planck, per il fotone:
h . n = h . f = U.
Ponendo
m . c2 = h . n , per il fotone possiamo dunque scrivere la (24) come segue:
ò½.(e0.E2)dS /\ ò
[(½.B2) / m0]dT = [2K. ò(h . n) . sen(wmm + jm)dm] / (dT.dS)
Da questa, essendo
(h . n) indipendente da
dm, si ricava:
(25) ½.ò(e0.E2) dS /\ ½.ò(B2 / m0)dT = 2.(h.n).[K / (DT. DS)].ò
sen(wmm + jm)dm
In realtà "dm" non è totalmente indipendente da variazioni di massa, che si fanno sentire su variazioni di frequenza sul termine "h ν". La costante di Planck non varia, ma varia la frequenza del fotone attorno ad un valore medio dettato dall’operatore matematico
sen, quindi ciò che è costante è il
valor medio dell’energia del fotone
(vedi anche il Capitolo 10.5 V° - Considerazioni sulle costanti universali).
Come si può notare, il termine che contiene le informazioni relative alla massa del fotone è composto dalla somma di due termini uguali (ecco perché compare il 2 nel termine a destra dell’equazione 25), poiché le variazioni, correlate la prima col campo elettrico e la seconda con quello magnetico, risultano identiche in modulo. A livello di integrazione sono, tuttavia, matematicamente indipendenti.
Tenendo presente che le variazioni di campo elettrico, magnetico e gravitazionale sono sincrone ed inoltre che quelle dei campo elettrico e magnetico sono in fase, mentre quella relativa alla massa è sfasata di
p/2 (il campo elettromagnetico è massimo quando è minimo quello dell’Energia potenziale) possiamo imporre ad
wm il valore di 1. Inoltre è evidente che il campo magnetico è integrabile solo nel Tempo e quello elettrico solo nello Spazio, cosicché il prodotto dei differenziali nel Tempo e nello Spazio darà origine al valore 1/ K
ts
Dalla
(25) ½.ò(e0.E2) dS /\ ½.ò(B2 / m0)dT = 2.(h.n).[K / (DT. DS)].ò
sen(wmm + jm)dm
considerando un’onda monocromatica, cioè un "treno d’onde" di durata
DT molto maggiore del periodo T, potremo dunque scrivere
(26) ½.ò(e0.E2).sen(wss+js)dS/\½.ò(B2/m0).sen(wtt+jt)dT=2.h.n.Kts.òsen(wmm+jm)dm
[mlt
-2] [l] [ml
-1t
-2] [t]=[ml
2t
-2 ][k][t
-1l
-1] [m]
(Attenzione poichè E moltiplicato B non ha le dimensioni di un E al quadrato al limite ha solo il valore del modulo di E al quadrato se E in modulo è uguale a B in modulo.)
ed, ancor più esplicitamente, ponendo
js = jt = 0 e
jm = p/2
(27) ½.ò(e0.E2).sen(w
ss)dS /\ ½.ò(B2/m0).sen (wtt)dT = 2 h.n.Kts.òsen(wmm + p/2)dm
ed essendo i due vettori del campo elettrico e magnetico perpendicolari tra di loro si ottiene:
(28) ½.(e0.E2) . ½.(B2/m0) . òsen(wss)dS /\. ò
sen(wtt)dT = 2 h.n.Kts.òcos(wmm)dm
da cui
(29) [(e0.E2.B2) / (4.Kts.h . n . m0)] . òsen(wss)dS /\ òsen(w
tt)dT = 2 . ò cos(wmm)dm
ed essendo per il fotone
sen(wss) = sen(wtt) si ottiene:
(30) [(e0.E2.B2) / (4.Kts. h . n . m0)] . [-cos(wss)] . [-cos(wss)] = 2 . òcos(wmm)dm
Inoltre, poiché:
òcos(wmm) dm = sen(wmm)
la (30) diventa:
(31) [(e0 . E2 . B2) / (4 . Kts . h . n . m0)] . cos2(wss) = 2 . sen(wmm)
oppure
(31bis) [(e0 . E2 . B2) / (4 . Kts . h . f . m0)] . cos2(wss) = 2 . sen(wmm)
Ovviamente
cos2(wss) è sempre positivo e compreso tra
0 ed
1 ma, nel caso del fotone, il valore dell’angolo è
p/4,
quindi
cos2(wss) = cos2(p/4) = [1 / (21/2)]2 = 0,5
pertanto la (31) diventa:
[(e0 . E2 . B2) / (4 . Kts . h . f . m0)] . (1 / 2) = 2 . sen(wmm)
Ammettendo che la (23)
sia corretta ed imponendo, nella formula (31), i seguenti valori:
c2 = (108 m s-1)2 = 1016 m2 s-2
e0 = 8,85419 10-12 F m-1 = [l-2m-1t4i2][l-1] = 8,85419 10-12 s4 A2 m-3 Kg-1
m0 = 4p 10-7 H m-1 = [l2m t-2i-1][l-1] = 12,56637 10-7 m Kg s-2 A-1
e = 1,6022 10-19 C = 1,6022 10-19 A s
h = 6,6262 .10-34 J s = 6,6262 .10-34 Kg m2 s-1
f = 5.1015 Hz = 5.1015 s-1, pari a λ = c / f = 108 / 5.1015 = 5.10-7m = 0,5 μm
H = 10-6 m-1 A
B = XX Kg A-1 s-2
E = YY m2 Kg A-1 s-3
Ammettendo, inoltre, che l’energia del campo elettrico sia uguale a quella del campo magnetico [l
-1 m t
-2], cioè che
UE = ½ . e
0.E2 = UB = ½ . (B2/ m0)
possiamo scrivere:
[(e0 . E2 . B2) / (4 . Kts . h . f . m0)] . (1 / 2) = 2 . sen(wmm)
oppure
[(e0 . E2 . B2) / (4 . h . f . m0)] = 4 . Kts . sen(wmm)
e quindi
(UE . UB) / (h . f) = 4 . Kts . sen(wmm), in cui (h . f) = (h . ν) = energia del fotone
Nota per memoria: (Il prodotto vettoriale di due energie è un’energia mentre il prodotto scalare di due energie è un’energia al quadrato per questo torna. Attenzione il valore va preso in modulo cioè il prodotto normale di due energie in modulo poiché vettorialmente è un’energia e non una energia al quadrato…)
Ponendo, per ora,
Kts = 1:
[(e0 . E2 . B2) / (h . f . m0)] = 16 . sen(w
mm)
0,5 . (10-12)2 .(10-6)4 / 8 Kts . (1015) . (6.6210- 34) = 0.94 10-31 / Kts = arcsen(wmm)
wmm = 0.94 10-31 Kg
e, per angoli piccoli
@ m
tutto ciò se Kts valesse 1.
Dunque il fotone avrebbe la stessa massa dell’elettrone, a meno di una
costante Kts.
Il calcolo della costante
Kts è stato fatto per via indipendente ed è rappresentato dal più piccolo valore misurabile del Tempo moltiplicato per il più piccolo valore dello Spazio. Questo rapporto è stato da noi proposto sotto forma di un nuovo principio di indeterminazione e vale:
c / n2 = c / f2 = 108 / (1015)2 = 10-22
Applicando questo valore al calcolo finale si ricava:
0.94 10-31. 10-22 = 0,94. 10-53 = arcsen(wmm) .
da cui,
m = 0.94 10-53 Kg
In effetti ulteriori conclusioni possono essere tratte sfruttando i nostri nuovi principi indeterminativi, poiché, nella teoria classica:
DS . D(mv) = h
essendo la velocità del fotone costante e pari a
c, si può scrivere
DS . Dm = h / c
e, sostituendo a
DS il valore previsto ed in precedenza calcolato, avremo:
Dm = (h . e . l / c) . [1 / (c . h)]1/2 = (e / f) . (h / c)1/2
Sostituendo i valori riportati nel testo per questa espressione
Dm = 10-46 circa
L’errore commesso sul calcolo della massa del fotone è maggiore della massa stessa, calcolata in precedenza.
Bisogna notare che è il fotone fermo ad avere queste caratteristiche, poiché il fotone in movimento ha massa variabile a seconda che l’Energia del suo campo elettromagnetico sia massima o minima; quando quest’ultima Energia è minima il fotone appare come massa e, se si potesse misurarla in quell’istante, avrebbe il valore da noi calcolato, mentre l’energia elettromagnetica sarebbe uguale a zero.
Ne consegue che il fotone presenta il classico dualismo onda-particella e, a seconda di come interagisce con l’ambiente, può apparire come onda o come massa.
Si può dunque parlare di massa media del fotone pensando che questa vari con legge sinusoidale tra il valore da noi calcolato e zero: il fotone, dunque, si annichilerebbe e si ricreerebbe due volte in un periodo, così come previsto da alcuni autori in un calcolo approssimativo ma efficace
(K. Voltamer, M. W. Lerom, J. Chem. Ed., 69, 100, 1992).
Inoltre si può dire che il fotone ruota quasi esclusivamente nel piano spazio-temporale e, quando appare come massa con la sua rotazione attorno all’asse dell’Energia potenziale, lo fa per un tempo talmente breve da impedirne comunque l’identificazione.
L’elettrone, invece, durante un periodo completo, oscilla "più a lungo" nel piano dell’Energia potenziale, mostrando una certa massa, oltre che una carica elettrica.
Da questi calcoli si evince che, se sono valide le equazioni (25) o (31), siamo non solo in grado di conoscere la massa di un fotone, ma possiamo fare alcune considerazioni interessanti:
- La massa dipende direttamente dal valore del campo elettromagnetico del fotone. Infatti più è piccolo il valore del campo, più è piccola la massa del fotone. Il fatto che, in fisica, il fotone venga considerato senza massa, consente di arguire che il campo elettrico ad esso associato è particolarmente ridotto.
- La massa dipende inversamente dal valore della frequenza n (od f). Dalla formula si ricava infatti che la massa del fotone aumenta al diminuire della sua frequenza di oscillazione. Questo porta alla conseguenza che i fotoni hanno masse diverse a seconda della loro frequenza di oscillazione.
- La rotazione (pulsazione) wm, responsabile della massa del fotone, è correlata con p.
Quali altre considerazioni e deduzioni possiamo fare?
I) I fotoni hanno valore quantizzato, perché i multipli interi di p
hanno un valore quantizzato. Questo concorda con tutte le teorie fisiche avanzate finora.
II) Le rotazioni multiple, a cui si verificano fenomeni particolari di massa, sono a base p
e non decimale come finora era stato calcolato.
III) Occorre usare una matematica a base p
per poter ricavare le risonanze di massa. [Si potrebbe verificare la variazione di massa del fotone misurando prima quella di un fotone che ruoti ad una velocità angolare w0 = 2 p f0, poi quella di uno che ruoti alla velocità angolare w1 = 20 p f0 e controllando che la massa si sia ridotta ad 1/10 di quella iniziale. La misura si basa sull’ipotesi che gli altri parametri nell’esperimento non varino. La misura sul singolo fotone risulta effettivamente di difficile applicazione, ma il metodo può essere utilizzato per misurare un grande numero di fotoni galattici, confinati in stelle rotanti a velocità diversa.]
IV) Variazioni di massa legate alla rotazione potrebbero dare origine a considerazioni molto interessanti sul modo di muoversi e di operare di taluni oggetti volanti.
V) Rotazioni opportune (ad esempio antirotazioni) potrebbero creare forze di massa repulsive e non attrattive, quindi si potrebbero sfruttare tali fenomeni per movimenti spaziali creati dalla sola rotazione.
VI) A quale rotazione limite la massa di una sostanza può assimilarsi a quella fotonica, con ovvie conseguenze fisiche?
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