5.1.1 TRATTAZIONE GEOMETRICA

In questo Universo un punto P è caratterizzato dalle coordinate principali S (Spazio), T (Tempo) ed U (Energia).



Le equazioni geometriche generali che si possono scrivere sono:
(1)       OP ² = u ² + s ² + t ²
e
(2)       OP’ ^. sen a = s ü
(3)                               ý da cui s / t = tg a
(4)       OP’ ^. cos a = t  þ
ed inoltre
(5)       u = OP ^. sen b     ü
(6)                                  ý da cui u = OP’ ^. sen b / cos b
(7)       OP’ = OP ^. cos b  þ
quindi
(8)       OP ² = (OP’^. sen b / cos b) ² + (OP’^. sen a) ² + (OP’ ^.cos a) ²
da cui
(9)       (OP / OP’ ) ² = sen² b / cos² b + sen² a + cos² a
perciò, dalla (2),
(10)       OP ² = [ sen² b / cos² b + sen² a + cos² a ] ^. ( s / sen a ) ²
oppure, dalla (6),
(11)       OP ² = [ sen² b / cos² b + sen² a + cos² a ] ^. [u / (sen b / cos b)] ²
ovvero anche, dalla (4),
(12)       OP ² = [ sen² b / cos² b + sen² a + cos² a ] ^. ( t / cos a ) ²
dalla quale, considerando solo i segni positivi, cioè uno soltanto tra gli otto ottanti in cui si divide lo spazio:
(13)       s / u = sen a ^. cos b / sen b

(14)       s / t = sen a / cos a = tg a

(15)       t / u = cos a ^. cos b / sen b
dove, per le coordinate di Lorentz,
(16)       s = (s ^_ v ^. t) ^. (1^_ v² / c²)^-1/2

(17)       t = [t ^_ (v ^. s) / c²] ^. (1^_ v² / c²)^-1/2

(18)       u = m ^. c^{2 .} (1^_ v² / c²)^-1/2 – m ^. c²
Ricordiamo che lo Spazio, il Tempo e l’Energia sono qui misurati con lo stesso tipo di unità di misura. Inoltre, classicamente, il segmento OP e gli angoli a e b indicano, rispettivamente: (OP) la distanza del punto dall’origine convenzionale degli assi, (tga) fornisce la velocità del punto e (b) rappresenta la deviazione dal piano dello Spazio-Tempo.

Considerando che il segmento OP è ottenuto risolvendo un’equazione quadratica, la soluzione da noi scelta è, come già detto, quella positiva, che posiziona la soluzione geometrica in un particolare ottante.