L'ARGOMENTO:

La Fisica moderna, nata agli inizi del Novecento dai "quanti" di Planck (1900) e dalla "relatività" di Einstein, è in grave crisi e si sta sbriciolando in tutta una serie di teorie cosmologiche, gravitazionali e unitarie, più o meno arbitrarie e difficilmente controllabili.
Per questo motivo nel 1955 A. Einstein concludeva amaramente che "siamo molto lontani dal possedere una base concettuale della Fisica alla quale poterci in qualche modo affidare".
Acquista allora particolare importanza ed attualità la "Teoria degli Universi" proposta nel 1952 dal grande matematico italiano Luigi Fantappié (1901-1956), basata sull'idea che l'Universo è un sistema armonico, retto da leggi valide per tutti gli osservatori. Ne segue quindi che una teoria degli Universi possibili deve essere necessariamente basata sulla teoria dei gruppi.
L'Autore, allievo di Fantappié, ha sviluppato la nuova teoria a partire dal 1955 nel caso particolare dei gruppi delle rotazioni, ottenendo così gli "Universi ipersferici" a3, 4, ... n dimensioni.
Nel primo volume viene presentata la relatività (speciale e generale), mettendone in evidenza la struttura gruppale (gruppo di Poincaré).
Nel secondo volume viene sviluppata la nuova "relatività proiettiva" speciale e generale che si ottiene per n = 4, dimostrando che con essa si perviene, nel modo più semplice e naturale, ai più importanti risultati delle precedenti teorie cosmologiche, gravitazionali ed unitarie. Infine, per n = 5 si ottiene la "relatività conforme" che permette di unificare il campo magnetoidrodinamico con quello gravitazionale di Newton.

Giuseppe Arcidiacono nato ad Acireale (Catania) nel 1927, si laurea in Fisica a Catania nel 1951. A Roma, all'Istituto Nazionale di Alta Matematica, fondato da Severi, inizia le sue ricerche con Luigi Fantappiè, di cui è allievo. Nel 1958 va a Parigi, all'Istituto H. Poincaré e lo stesso anno gli viene assegnato all'Accademia Nazionale dei Lincei il Premio per la Matematica, per le sue ricerche sulla "relatività proiettiva" e sulla magnetoidrodinamica. Nel 1963 vince il Premio della Cultura della Presidenza del Consiglio dei Ministri. Dal 1969 docente di meccanica superiore all'Università di Perugia. È autore di vari libri e memorie scientifiche in riviste italiane e straniere.

PREFAZIONE:

In questi ultimi anni, con la scoperta di nuovi e straordinari oggetti celesti, come le "quasar", le "pulsar", le "radiosorgenti", le "stelle a raggi X" e i "buchi neri", si è avuto un vero e proprio capovolgimento nelle nostre conoscenze sull'Universo. Ci siamo così accorti di vivere alla periferia di una tranquilla galassia, mentre tutto intorno a noi si verificano eventi di una violenza inimmaginabile, come l'esplosione di stelle e di galassie, eventi che mettono in discussione le stesse leggi fisiche così come noi le conosciamo.

Queste nuove scoperte hanno portato alla convinzione che si rende necessaria una profonda revisione della fisica relativistica di Einstein, per comprendere tutto quello che osserviamo nel cielo, anzi, secondo Hoyle, ci troviamo alla vigilia di un grande cambiamento nella scienza, e cioè la nascita di una nuova fisica, a partire dalla astrofisica e dalla cosmologia.

Da questo punto di vista acquista particolare importanza la "Teoria degli Universi" proposta dal grande matematico italiano Luigi Fantappié (1901-1956) nelle sue lezioni all'Istituto Nazionale di Alta Matematica dell'Università di Roma. Essa è basata sulla teoria dei gruppi e ci permette di perfezionare la fisica classica (basata sul gruppo di Galileo) e quella relativistica (gruppo di Poincaré) in modo da tener conto delle nuove esigenze sperimentali e teoriche.

Il problema di perfezionare la relatività di Einstein, a partire da principi di carattere generale, era stato posto per primo da Milne, con la sua "relatività cinematica". Successivamente Bondi e Gold enunciavano il "principio cosmologico perfetto" e costruivano la "cosmologia stazionaria".

Il principio cosmologico da cui parte Fantappié è assai più semplice e naturale, perché è basato sul concetto stesso di Universo, concepito come un sistema retto da "leggi fisiche". Un'analisi del concetto di legge porta alla conclusione che essa richiede un "criterio di uguaglianza" che viene espresso da un "gruppo". Ne segue che ad ogni gruppo corrisponde un "modello di Universo" le cui leggi sono invarianti per tale gruppo.

In particolare, se ci riferiamo ai gruppi delle rotazioni degli spazi a 4,5...n+1 dimensioni, ad essi corrispondono degli "Universi Ipersferici" a 3,4...n dimensioni. Ognuno di questi modelli è contenuto nei successivi e contiene i precedenti, e quindi si possono interpretare come successivi perfezionamenti della fisica.

Nel "primo volume", che riporta le mie lezioni di "Meccanica Superiore", dopo una breve trattazione del calcolo tensoriale e della teoria dei gruppi, viene esposta la "relatività speciale" di Einstein, mettendone in evidenza la sua struttura gruppale. Essa è infatti basata sul gruppo di Poincaré a 10 parametri, che ci dà i movimenti in sé del cronotopo di Minkowski. Viene poi sviluppata la meccanica relativistica del punto, la idrodinamica relativista, l'elettromagnetismo e la magnetoidrodinamica relativista.

La "relatività generale" viene sviluppata utilizzando il calcolo tensoriale negli spazi di Riemann e viene applicata allo studio del moto dei pianeti ed al problema dei Buchi Neri della gravitazione. Si passa infine alla "cosmologia relativista", alle "cosmologie a priori" (Milne, Bondi-Gold-Hoyle), allo studio delle relazioni tra le costanti universali (Eddington, Dirac), alla "cosmologia del plasma" (Alfvèn) ed al "Principio Cosmologico Antropico" (Dicke, Carter).

Il "secondo volume" è dedicato alla nuova "Teoria degli Universi Ipersferici" da me sviluppata a partire dal 1955. Questa teoria è basata sui gruppi delle rotazioni degli spazi (n+1)-dimensionali. Per n=4 abbiamo la "Relatività Speciale Proiettiva" (RSP), che estende la relatività speciale su scala cosmica ed unifica il campo elettromagnetico con quello idrodinamico. Essa viene completata dalla "Relatività Generale Proiettiva" (RGP), che riunisce entro un unico schema logico le varie teorie unitarie (Kaluza-Klein, Veblen, Jordan-Thiry, Cartan, Weyl, Einstein) e del campo gravitazionale (Rosen, Sciama, Brans-Dicke). Infine, per n=5 otteniamo la "Relatività Speciale Conforme" (RSC), che permette di unificare, su base gruppale, il campo magnetoidrodinamico con quello gravitazionale di Newton.

Roma, febbraio 1995
Giuseppe Arcidiacono

INTRODUZIONE:

Se l'Universo è un sistema armonico e ordinato, si pongono due importanti problemi:

(a) Il "problema cosmologico" cioè lo studio della sua struttura globale e della sua evoluzione nel tempo;
(b) Il "problema unitario" e cioè la ricerca della legge unica che regola i fenomeni.

Dopo oltre 70 anni di tentativi da parte dei maggiori matematici e fisici, non è stato possibile risolvere questi problemi, anzi la scienza si è polverizzata in tutta una serie di teorie gravitazionali, cosmologiche e unitarie, tra loro incompatibili. Per questo motivo, nella prefazione al volume "Cinquant'anni di relatività" (1955), Einstein concludeva amaramente affermando che "siamo molto lontani dal possedere una base concettuale della fisica, alla quale poterci in qualche modo affidare", e auspicava la ricerca di una teoria di pura natura algebrica.

Se riflettiamo sul motivo di questo insuccesso, vediamo che esso è dovuto all'abbandono della teoria dei gruppi (sui quali è basata la fisica classica e la relatività speciale), e alla pretesa di ottenere una cosmologia e una teoria unitaria definitive e non più perfezionabili.

È allora opportuno applicare la "Teoria degli Universi" proposta nel 1952 dal grande matematico italiano Luigi Fantappié (1901-1956) dell'Istituto Nazionale di Alta Matematica dell'Università di Roma, che è basata sulla teoria dei gruppi e sull'idea che l'Universo è un sistema dotato di leggi uniche, valide per tutti gli osservatori.

In particolare, se ci limitiamo agli "Universi Ipersferici" a 3, 4,...n dimensioni, i loro movimenti in sé sono dati dai gruppi delle rotazioni negli spazi a 4, 5...n+1 dimensioni, con N = ½ n(n+1) parametri ("numeri triangolari" di Pitagora 6, 10, 15...).

Nell'Universo ipersferico S_n, a n dimensioni, valgono le leggi di Maxwell generalizzate

(1) Rot H_{j k} = J_{i kl} ; Div H_{j k} = I_k (i, k ,l = 0, 1,.., n)

dove il campo H_{j k} è un tensore doppio antimmetrico con N componenti, pari al numero dei parametri del gruppo.
A questo Universo corrisponde una "fisica quantistica" (n+1)-dimensionale in cui valgono le equazioni di Dirac generalizzate, invarianti per il gruppo, e scritte nel formalismo spinoriale.

Se infine consideriamo un Universo S'_n "globalmente" ipersferico, e "localmente" a curvatura variabile, le equazioni di Einstein generalizzate

(2) R_{j k} - ½ R g _ik = c T_{j k} (i, k = 0, 1.., n)

stabiliscono il legame tra la "curvatura locale" e il "tensore energetico" del campo

(3) T_{j k} = H^s_i H_sk + (1/4) H_rs H^rs g _ik

dove g _ik è la metrica (n + 1)-dimensionale, e otteniamo così la "relatività generale" (n+1)-dimensionale...

Questi modelli di Universo ipersferici S₃, S₄,..., S_n ognuno dei quali contiene i precedenti ed è contenuto nei successivi possono essere interpretati come i "successivi perfezionamenti" della fisica. Otteniamo così una classificazione dei modelli di Universo basata sui numeri interi, come la tabella periodica degli elementi di Mendelejeff.

Ne segue che in fisica abbiamo una doppia descrizione dell'Universo:
(a) in termini di "geometria iperspaziale", in cui intervengono i numeri immaginari;
(b) in termini "fisici" in cui tutte le entità geometriche della teoria hanno una loro interpretazione fisica.
Così, per esempio, nella relatività speciale le rotazioni semplici (x₁, x₄) di un angolo u,
se poniamo x₁ = x e x₄ = ict, danno le trasformazioni di Lorentz con velocità V = -ic tg u.

Per n=4 abbiamo la "relatività speciale proiettiva" (RSP), basata sull'Universo ipersferico S₄ di De Sitter e sul gruppo di Fantappié a 10 parametri. Essa perfeziona in modo univoco la relatività speciale di Einstein e ci fornisce una nuova versione gruppale della cosmologia del big-bang. Questa teoria, da me sviluppata a partire dal 1955, ci permette di ritrovare in forma rigorosa i più importanti risultati della "relatività cinematica" di Milne, della "cosmologia del big-bang", della "cosmologia stazionaria" di Bondi, Gold e Hoyle e della "cosmologia del plasma" di Alfvèn. Infatti, le equazioni di Maxwell generalizzate ci danno nel modo più semplice una teoria unitaria dell'elettromagnetismo e dell'idrodinamica, cioè del campo magnetoidrodinamico.

A partire dal gruppo di Fantappié si può poi costruire la "cosmologia quantistica" valida in un Universo in esplosione-collasso, e invariante per il gruppo di Fantappié.

Se infine consideriamo l'Universo S'₄ globalmente ipersferico e localmente a curvatura variabile, otteniamo la "relatività generale proiettiva" (RGP). In questa teoria, da me sviluppata a partire dal 1964, le equazioni generalizzate (2) di Einstein ci permettono di ritrovare, entro un unico schema logico, i risultati delle varie teorie unitarie (Weyl, Straneo, Kaluza-KIein, Veblen, Jordan Thiry...) e delle generalizzazioni del campo gravitazionale (Brans-Dicke, Rosen, Sciama...), sia pure con una diversa interpretazione fisica.

Per n=5 otteniamo la "relatività conforme proiettiva" (RCP), basata sull'Universo ipersferico S₅, in cui il gruppo delle rotazioni R₆ a 15 parametri contiene i movimenti uniformemente accelerati. Essa ci dà una "teoria unitaria" della magnetoidrodinamica e della gravitazione di Newton.

La "Teoria degli Universi Ipersferici" può essere poi ampliata introducendo gli Universi "entropici-sintropici", a struttura cibernetica, gli Universi n-dimensionali con "simmetrie interne" (con n-4 dimensioni collassate) legati alle particelle elementari e alla supergravità, e gli Universi "complessi", con una parte immaginaria non visibile, che si possono collegare alla fisica quantistica.

Roma, giugno 1998
Giuseppe Arcidiacono

NOTA
Le memorie dei "Collectanea Mathematica" sono state raccolte nei due volumi:
G. Arcidiacono, "La relatività proiettiva"; "Memorie scelte 1958-1988", Ed. Andromeda, (Via S. Allende, 1), 40139 Bologna, 1995 (Tel. 051-490439).

A queste memorie rimandiamo per ulteriori dettagli nei calcoli sulla "relatività proiettiva" (speciale e generale) e sugli Universi Ipersferici.

Le memorie in inglese pubblicate su "Hadronic Journal" si possono richiedere alla: HADRONIC PRESS, INC.
35246 US 19 North # 115, PALM HARBOR, FL 34684, USA

Presso la stessa Casa Editrice è pubblicato il volume:
G. Arcidiacono, "Projective relativity, Cosmology and Gravitation", Hadronic Press, USA, 1986.

Le memorie di Fantappié sono state pubblicate dalla Unione Matematica Italiana, nella collana "I grandi matematici italiani":
L. Fantappié, "Memorie Scelte" - Pitagora Editrice, Via del legatore 3,40138 BOLOGNA

Per la biografia di Fantappié vedi:
G. Arcidiacono, "Fantappié e gli Universi" - Ed. Il Fuoco, Via G. Carini 28, Roma 1986.
"Enciclopedia biografica" della Treccani - Di Renzo Editore, Roma.

Ringrazio mio figlio Carlo che ha elaborato al computer le illustrazioni del testo.

INDICE VOLUME 1:

Prefazione

pag. 7

Capitolo I - IL CALCOLO TENSORIALE
§ 1- Le matrici e i determinanti	pag. 9
1 - Il determinante di una matrice quadrata. 2 - Calcolo delle matrici. 3 - Funzioni di una matrice.
§ 2 - Il calcolo tensoriale negli spazi euclidei	pag. 14
4 - Scalari, vettori, tensori. 5 - Algebra tensoriale. 6 - Il tensore di Ricci ed il prodotto esterno dei vettori. 7 - Tensori simmetrici antisimmetrici ed isotropi. 8 - I multivettori (p-vettori).
§ 3 - Analisi tensoriale negli spazi euclidei	pag. 22
9 - Operatori differenziali di En. 10 - Alcune proprietà degli operatori differenziali. 11 - Operatori differenziali e p-vettori.

Bibliografia

pag. 26

Capitolo II - LA TEORIA DEI GRUPPI
§ 1 - La teoria dei gruppi astratti	pag. 27
1 - Il concetto di gruppo. 2 - Omomorfismo, isomorfismo, automorfismo. 3 - I sottogruppi di un gruppo. 4 - Il gruppo fattoriale o quoziente. 5 - Il prodotto diretto di due gruppi.
§ 2 - I gruppi di trasformazioni	pag. 32
6 - I gruppi delle traslazioni Tn. 7 - Il gruppo ortogonale On ed il gruppo ortogonale speciale Osn. 8 - Alcune proprietà dei gruppi ortogonali. 9 - Il gruppo lineare speciale Lsn ed il gruppo generale omogeneo Ln.
§ 3 - I gruppi di Lie ad r parametri	pag. 37
10 - Le trasformazioni infinitesime di un gruppo. 11 - La classificazione di Cartan dei gruppi semplici.

Bibliografia

pag. 42

Capitolo III - LA RELATIVITÀ SPECIALE
§ 1 - Meccanica, elettromagnetismo, etere	pag. 43
1 - Il principio di relatività di Galileo. 2 - L'etere ed il campo elettromagnetico. 3 - Alcune esperienze sull'etere.
§ 2 - gruppi di Lorentz e di Poincaré	pag. 47
4 - Il principio di relatività di Einstein. 5 - Le trasformazioni del gruppo di Lorentz. 6 - Il gruppo di Poincaré a 10 parametri. 7 - Alcune conseguenze del gruppo di Lorentz. 8 - La legge di addizione delle velocità. 9 - L'effetto Döppler relativistico.
§ 3 - Studio del cronotopo di Minkowski	pag. 55
10 - Il cronotopo ed i coni-luce. 11 - L'equazione delle onde di D'Alembert.

Bibliografia	pag. 59
Tavola I - La velocità della luce	pag. 60
Tavola II - Fisica classica e relativistica	pag. 61

Capitolo IV - LA MECCANICA RELATIVISTICA
§ 1 - La dinamica del punto materiale	pag. 62
1 - Tempo proprio, velocità, accelerazione cronotopica. 2 - Le equazioni della meccanica relativistica. 3 - L'equivalenza tra massa ed energia. 4 - Momento lineare e momento angolare.
§ 2 - Alcuni esempi di dinamica relativista	pag. 67
5 - Moto uniformemente accelerato. 6 - Moto di un elettrone in un campo magnetico costante. 7 - Urto relativistico di due particelle.
§ 3 - Moto centrale ed orbite dei pianeti	pag. 71
8 - Equazione della traiettoria in coordinate polari. 9 - Il moto kepleriano relativistico. 10 - La precessione del perielio dei pianeti.

Bibliografia	pag. 75
Tavola III - La meccanica relativistica	pag. 75

Capitolo V - IL CAMPO IDRODINAMICO
§ 1 - La idrostatica e la idrodinamica classica	pag. 77
1 - Equazioni meccaniche di un insieme di punti liberi. 2 - Meccanica classica dei mezzi continui. 3 - L'equazione fondamentale dell'idrostatica. 4 - Le equazioni della idrodinamica dei fluidi perfetti. 5 - Le equazioni di Navier-Stokes dei fluidi viscosi compressibili. 6 - Velocità delle onde idrodinamiche.
§ 2 - La idrodinamica relativistica	pag. 83
7 - Il tensore energetico dello schema "materia pura". 8 - La meccanica relativistica dei mezzi continui. 9 - Il tensore energetico dei fluidi perfetti . 10 - Le equazioni del campo idrodinamico relativistico. 11 - Indici del fluido ed equazione di stato. 12 - La idrodinamica relativistica dei fluidi perfetti incompressibili. 13 - Le equazioni relativistiche dei fluidi viscosi.
§ 3 - La termoidrodinamica relativistica	pag. 92
14 - I fluidi perfetti termodinamici con conducibilità termica nulla. 15 - La teoria della conduzione termica. 16 - La termoidrodinarnica relativista dei fluidi perfetti.

Bibliografia

pag. 98

Capitolo VI - IL CAMPO ELETTROMAGNETICO
§ 1 - La teoria elettromagnetica di Maxwell	pag. 99
1 - Le equazioni del campo elettromagnetico. 2 - Studio delle onde idrodinamiche ed elettromagnetiche piane. 3 - I potenziali elettromagnetici (ritardati ed anticipati).
§ 2 - Le equazioni di Maxwell e la relatività	pag. 104
4 - Studio del tensore elettromagnetico. 5 - Il vettore densità corrente-carica. 6 - Formulazione quadridimensionale delle equazioni di Maxwell.
§ 3 - Il tensore energetico del campo elettromagnetico	pag. 109
7 - La forza ponderomotrice di Lorentz. 8 - Significato fisico del tensore energetico. 9 - Il tensore energetico di Maxwell-Minkowski.

Bibliografia

pag. 113

Capitolo VII - IL CAMPO MAGNETOIDRODINAMICO
§ 1 - La magnetoidrodinamica classica	pag. 114
1 - Il plasma e la teoria di Alfvén. 2 - Equazioni della magnetofluidodinamica. 3 - Alcuni effetti magnetoidrodinamici. 4 - Le onde magnetoidrodinamiche di Alfvén.
§ 2 - La magnetoidrodinamica relativistica	pag. 120
5 - Studio dei fluidi elettrizzati con conducibilità nulla. 6 - Studio dei fluidi con conducibilità elettrica infinita. 7 - Le equazioni della magnetoidrodinamica relativistica ideale.
§ 3 - Studio delle onde magnetoidrodinamiche	pag. 125
8 - Le condizioni di compatibilità dinamica. 9 - Equazione differenziale dell'ipersuperficie caratteristica. 10 - Le onde idrodinamiche e quelle magnetoidrodinamiche di Alfvén.

Bibliografia

pag. 131

Capitolo VIII - GLI SPAZI DI RIEMANN
§ 1 - Varietà riemanniane ed algebra tensoriale	pag. 132
1 - Coordinate generali nello spazio euclideo. 2 - Le varietà riemanniane n-dimensionali. 3 - I tensori in coordinate generali. 4 - Operazioni sui tensori in coordinate generali. 5 - Tensore fondamentale e tensore di Ricci.
§ 2 - Varietà riemanniane ed analisi tensoriale	pag. 139
6 - Trasporto parallelo di un vettore. 7 - Studio della derivazione covariante. 8 - Connessione e simboli di Christoffel. 9 - Gli operatori differenziali in coordinate generali. 10 - Le geodetiche di una varietà riemanniana.
§ 3 - 1 tensori di curvatura e di torsione	pag. 147
11 - Il tensore di curvatura di Riemann. 12 - Curvatura e torsione di una varietà n-dimensionale. 13 - Alcune proprietà del tensore di curvatura. 14 - Le varietà riemanniane isotrope.

Bibliografia	pag. 154
Tavola IV - Curvatura di una varietà	pag. 155

Capitolo IX - LA RELATIVITÀ GENERALE
§ 1 - Equivalenza inerzia-gravitazione	pag. 156
1 - Massa inerziale e massa gravitazionale. 2 - Il campo gravitazionale e la metrica riemanniana. 3 - Movimento di un punto materiale in un campo gravitazionale. 4 - Velocità della luce in un campo gravitazionale.
§ 2 - Le equazioni gravitazionali di Einstein	pag. 161
5 - Le equazioni del campo gravitazionale. 6 - La teoria di Newton in prima approssimazione. 7 - Forma approssimata delle equazioni di Einstein. 8 - Lo spostamento verso il rosso delle righe spettrali. 9 - Le equazioni di Levi-Civita del campo gravitazionale statico.
§ 3 - Il campo gravitazionale a simmetria sferica	pag. 169
10 - La metrica di Schwarzschild ed il raggio gravitazionale. 11 - Lo spostamento del perielio dei pianeti. 12 - Deflessione della luce in un campo gravitazionale.
§ 4 -Materia iperdensa e "collasso gravitazionale"	pag. 175
13 - L'orizzonte degli eventi ed i buchi neri della gravitazione. 14 - Buchi neri con massa, carica e spin. 15 - Termodinamica ed entropia dei buchi neri. 16 - I mini-buchi neri di Hawking e la loro evaporazione. 17 - La gravitazione di Einstein e l'Astrofisica.

Bibliografia	pag. 183
Tavola V - I buchi neri nella gravitazione	pag. 185

Capitolo X - IL PROBLEMA COSMOLOGICO
§ 1 - Equazioni gravitazionali e cosmologia relativista	pag. 186
1 - II tempo cosmico e la metrica di Robertson. 2 - Modelli di Universo con costante cosmologica. 3 - Modelli di Friedmann senza costante cosmologica. 4 - Modelli di Universo anisotropi e ruotanti.
§ 2 - La "relatività cinematica" di Milne	pag. 193
5 - La "doppia scala" del tempo. 6 - La massa e la dinamica del punto libero. 7 - Relatività cinematica, gravitazione e cosmologia.
§ 3 - Altre teorie cosmologiche non relativiste	pag. 200
8 - La "cosmologia stazionaria" di Bondi, Gold ed Hoyle. 9 - La cosmologia di Eddington ed il numero cosmico. 10 - La cosmologia di Dirac e l'età dell'Universo.
§ 4 - Cosmologia del Big-Bang e Principio Antropico	pag. 204
11 - La cosmologia del Big-Bang e la cosmologia del plasma. 12 - La cosmologia "inflazionaria" e la cosmologia "quantistica". 13 - II Principio Cosmologico Antropico. 14 - L'Uomo, la Vita e il Cosmo.

Bibliografia	pag. 211
Tavola VI - Cosmologia relativista	pag. 213
Tavola VII - Relatività e cosmologia	pag. 214

INDICE VOLUME 2:

Introduzione

pag. 9

Capitolo XI - GLI "UNIVERSI" DI FANTAPPIÉ
§1 - La teoria degli Universi fisici	pag. 11
1 - Teoria dei gruppi modelli di Universo. 2 - li "gruppo finale" di Fantappié. 3 - L'assoluto di Cayley-Klein e la geometria proiettiva. 4 - La "relatività finale" e l'Universo di De Sitter.
§ 2 - L'Universo di Minkowski e i tachioni	pag. 16
5 - li gruppo di Poincaré e le velocità iper-c. 6 - I tachioni in microfisica e astrofisica. 7 - I monopoli magnetici e i tachioni.
§ 3 - L'Universo entropico-sintropico di Fantappié	pag. 21
8 - La teoria unitaria del mondo fisico e biologico. 9 - L'Universo a struttura cibernetica. 10 - Entropia e disordine molecolare. 11 - Sintropia, ordine e informazione. 12 - Teoria dei sistemi, ordine e disordine.

Bibliografia

pag. 29

Capitolo XII - L'UNIVERSO DI DE SITTER
§ 1 - La "relatività speciale proiettiva"	pag. 31
1- Il problema cosmologico e la teoria dei gruppi. 2 - La "doppia scala" spaziale e temporale. 3 - Il cronotopo di Castelnuovo e la metrica di Beltrami.
§ 2 - Il dalembertiano proiettivo e i coni-luce	pag. 36
4 - Studio della derivazione proiettiva. 5 - L'equazione di D'Alembert proiettiva. 6 - L'equazione di D'Alembert proiettiva a due dimensioni.
§ 3 - Il laplaciano proiettivo a simmetria sferica	pag. 41
7 - L'equazione di Laplace proiettiva. 8 - Studio dei polinomi ipersferici.

Bibliografia

pag. 44

Capitolo XIII - LA RELATIVITÀ SPECIALE PROIETTIVA
§ 1 - Il gruppo proiettivo di Fantappié	pag. 47
1 - Il cronotopo di Castelnuovo e il gruppo di Fantappié. 2 - Il gruppo di Fantappié a tre parametri (T, T0, V). 3 - Alcuni casi limiti del cronotopo di Castelnuovo.
§ 2 - Il gruppo di Fantappié e la cosmologia proiettiva	pag. 54
4 - L'addizione delle durate e delle velocità. 5 - Studio della legge di espansione-contrazione. 6 - La nuova legge dell'effetto Doppler. 7 - Espansione cosmica e formula del red-shift.
§ 3 - Una nuova meccanica cosmica proiettiva	pag. 59
8 - Tempo proprio, velocità, accelerazione proiettive. 9 - La legge di variazione della massa. 10 - Studio del momento angolare proiettivo. 11 - La meccanica proiettiva del punto libero. 12 - Il problema dei tachioni nella relatività speciale proiettiva. 13 - Meccanica proiettiva e orbite a spirale nelle galassie.

Bibliografia

pag. 71

Capitolo XIV - MAGNETOIDRODINAMICA E COSMOLOGIA
§ 1 - Elettromagnetismo e idrodinamica relativista	pag. 71
1- Le equazioni di Maxwell generalizzate. 2 - Il tensore magnetoidrodinamico e le onde piane. 3 - Studio del tensore energetico totale. 4 - Campo elettromagnetico con induzione e fluidi perfetti relativistici.
§ 2 - Materia iperdensa e monopoli magnetici	pag. 77
5 - Monopoli magnetici e doppio potenziale. 6 - Studio delle equazioni della magnetoidrodinamica proiettiva. 7 - Forma tridimensionale delle equazioni del campo magnetoidrodinamico.
§ 3 - L'Universo di De Sitter e le particelle elementari	pag. 81
8 - Le equazioni di Moller e di Caldirola del campo mesonico. 9 - I campi a massa minima e il fotone pesante di De Broglie.

Bibliografia

pag. 85

Capitolo XV - MATERIA, ELETTRICITÀ, PLASMA
§ 1 - L'Universo di De Sitter e la magnetoidrodinamica	pag. 87
1 - Il "plasma", quarto stato della materia. 2 - Doppia scomposizione del tensore magnetoidrodinamico. 3 - Doppia scomposizione delle "sorgenti" del campo magnetoidrodinamico.
§ 2 - La idrodinamica e la termoidrodinamica proiettive	pag. 93
4 - Analisi delle equazioni della magnetoidrodinamica. 5 - La idrodinamica proiettiva dei fluidi perfetti incompressibili. 6 - Studio della termoidrodinamica proiettiva.
§ 3 - Altri casi limiti della magnetoidrodinamica	pag. 99
7 - La magnetoidrodinamica "ideale" proiettiva. 8 - L'elettromagnetismo e la elettroidrodinamica proiettivi. 9 - Un "principio di dualità" nella relatività speciale proiettiva.

Bibliografia

pag. 103

Capitolo XVI - LA PROPAGAZIONE DELLE ONDE
§ 1 - ldrodinamica e termoidrodinamica relativiste	pag. 105
1 - Le onde nella idrodinamica relativistica. 2 - Le equazioni dei fluidi relativisti termodinamici. 3 - Propagazione delle onde nei fluidi termodinamici.
§ 2 - ldrodinamica e magnetoidrodinamica proiettive	pag. 110
4 - Studio delle onde Nella idrodinamica proiettiva. 5 - Studio delle onde nella magnetoidrodinamica ideale proiettiva.
§ 3 - Una nuova termoidrodinamica proiettiva	pag. 115
6 - Le equazioni della termoidrodinamica proiettiva. 7 - Studio della velocità di propagazione delle onde. 8 - Studio dei fluidi termodinamici ideali. 9 - Fluidi termodinamici ideali con conducibilità termica nulla. 10 - Proprietà dei fluidi termodinarnici ideali.

Bibliografia

pag. 127

Capitolo XVII - TEORIE UNITARIE E GRAVITAZIONE
§ 1 - Le teorie unitarie quadridimensionali	pag. 129
1 - La teoria unitaria di Weyl. 2 - La teoria unitaria di Straneo. 3 - La teoria unitaria non simmetrica di Einstein.
§ 2 - Le teorie unitarie a cinque e sei dimensioni	pag. 133
4 - La teoria di Kaluza-Klein e la "relatività proiettiva" di Veblen. 5 - La teoria unitaria di Jordan-Thiry. 6 - Teorie unitarie a sei dimensioni.
§ 3 - Gravitazione, inerzia e fluidi a spin	pag. 138
7 - La teoria "bimetrica" della gravitazione di N. Rosen. 8 - La teoria scalare-tensoriale della gravitazione di Brans-Dicke. 9 - Trasformazione conforme delle equazioni scalari-tensoriali. 10 - La teoria scalare-tensoriale di Canuto e la invarianza di scala. 11 - La teoria di Sciama del campo gravitazionale non simmetrico.

Bibliografia

pag. 145

Capitolo XVIII - LA RELATIVITÀ GENERALE PROIETTIVA
§ 1 - Gli spazi di Cartan a connessione proiettiva	pag. 147
1 - Critica alle teorie unitarie e della gravitazione. 2 - Gli spazi di Cartan e il gruppo di olonomia. 3 - Gli spazi a connessione proiettiva. 4 - La metrica indotta quadridimensionale. 5 - Studio delle metriche indotte simmetriche.
§ 2 - La gravitazione vettoriale-tensoriale proiettiva	pag. 154
6 - La derivazione proiettiva nella RGP. 7 - La connessione proiettiva nella teoria vettoriale-tensoriale. 8 - Studio del tensore di curvatura e torsione di Cartan. 9 - Le equazioni del campo gravitazionale vettoriale-tensoriale.
§ 3 - La gravitazione scalare-tensoriale proiettiva	pag. 158
10 - La connessione proiettiva nella teoria scalare-tensoriale. 11 - Le equazioni del campo gravitazionale scalare-tensoriale. 12 - Le equazioni del campo scalare-tensoriale al limite relativistico. 13 - La trasformazione conforme del campo scalare-tensoriale.

Bibliografia

pag. 165

Capitolo XIX - GLI UNIVERSI IPERSFERICI
§ 1 - Universi ipersferici e gruppi delle rotazioni	pag. 167
1 - Studio delle ipersfere n-dimensionali. 2 - Gli spazi ipersferici e i gruppi delle rotazioni. 3 - Le trasformazioni infinitesime e gli operatori di Casimir.
§ 2 - La teoria degli Universi Ipersferìci	pag. 174
4 - Gli Universi di Newton, Minkowski e De Sitter. 5 - Gli Universi Ipersferici e le equazioni di Maxwell. 6 - Gli Universi multitemporali di KaIitzin. 7- Gli Universi globalmente ipersferici e le equazioni di Einstein.
§ 3 - Gli Universi ipersferici e la fisica quantistica	pag. 180
8 - L'Universo di De Sitter e la cosmologia quantistica. 9 - Gli Universi quantistici di Fantappié. 10 - Massa, spin, gruppi topologici.

Bibliografia

pag. 185

Capitolo XX - RELATIVITÀ CONFORME E GRAVITAZIONE
§ 1 - Il campo magnetoidrodinamico-gravitazionale	pag. 187
1 - La relatività speciale conforme e il gruppo delle rotazioni a sei dimensioni. 2 - L'Universo ipersferico S5 e la gravitazione di Newton. 3 - Il tensore energetico del campo rnagnetoidrodinamico-gravitazionale.
§ 2 - L'Universo ipersferico S5 e i vari tipi di coordinate	pag. 191
4 - Le coordinate proiettive, esasferiche, cartesiane e conformi. 5 - Studio della metrica nelle varie coordinate. 6 - Casi particolari della relatività speciale conforme-proiettiva. 7- La derivazione proiettiva e l'equazione di D'Alembert conforme.
§ 3 - Studio del gruppo conforme-proiettivo	pag. 198
8 - Le coordinate esasferiche e il gruppo conforme. 9 - Le coordinate proiettive e il gruppo conforme-proiettivo.

Bibliografia

pag. 203

Tavole	pag. 205
Tavola I - La geometria iperbolica
Tavola II - Onde divergenti e convergenti
Tavola III - Gli Universi di Newton e di Minkowski
Tavola IV - L'Universo di De Sitter
Tavola V - Universo assoluto e relativo
Tavola VI - La velocità della luce
Tavola VII - Casi limite dell'Universo di Castelnuovo
Tavola VIII - La cosmologia proiettiva
Tavola IX - L'Universo in esplosione collasso
Tavola X - Gruppi e campo magnetoidrodinamico
Tavola XI - Inerzia e gravitazione
Tavola XII - Gli Universi ipersferici
Tavola XIII - La relatività conforme