INTRODUZIONE:

Se l'Universo è un sistema armonico e ordinato, si pongono due importanti problemi:

(a) Il "problema cosmologico" cioè lo studio della sua struttura globale e della sua evoluzione nel tempo;
(b) Il "problema unitario" e cioè la ricerca della legge unica che regola i fenomeni.

Dopo oltre 70 anni di tentativi da parte dei maggiori matematici e fisici, non è stato possibile risolvere questi problemi, anzi la scienza si è polverizzata in tutta una serie di teorie gravitazionali, cosmologiche e unitarie, tra loro incompatibili. Per questo motivo, nella prefazione al volume "Cinquant'anni di relatività" (1955), Einstein concludeva amaramente affermando che "siamo molto lontani dal possedere una base concettuale della fisica, alla quale poterci in qualche modo affidare", e auspicava la ricerca di una teoria di pura natura algebrica.

Se riflettiamo sul motivo di questo insuccesso, vediamo che esso è dovuto all'abbandono della teoria dei gruppi (sui quali è basata la fisica classica e la relatività speciale), e alla pretesa di ottenere una cosmologia e una teoria unitaria definitive e non più perfezionabili.

È allora opportuno applicare la "Teoria degli Universi" proposta nel 1952 dal grande matematico italiano Luigi Fantappié (1901-1956) dell'Istituto Nazionale di Alta Matematica dell'Università di Roma, che è basata sulla teoria dei gruppi e sull'idea che l'Universo è un sistema dotato di leggi uniche, valide per tutti gli osservatori.

In particolare, se ci limitiamo agli "Universi Ipersferici" a 3, 4,...n dimensioni, i loro movimenti in sé sono dati dai gruppi delle rotazioni negli spazi a 4, 5...n+1 dimensioni, con N = ½ n(n+1) parametri ("numeri triangolari" di Pitagora 6, 10, 15...).

Nell'Universo ipersferico S_n, a n dimensioni, valgono le leggi di Maxwell generalizzate

(1) Rot H_{j k} = J_{i kl} ; Div H_{j k} = I_k (i, k ,l = 0, 1,.., n)

dove il campo H_{j k} è un tensore doppio antimmetrico con N componenti, pari al numero dei parametri del gruppo.
A questo Universo corrisponde una "fisica quantistica" (n+1)-dimensionale in cui valgono le equazioni di Dirac generalizzate, invarianti per il gruppo, e scritte nel formalismo spinoriale.

Se infine consideriamo un Universo S'_n "globalmente" ipersferico, e "localmente" a curvatura variabile, le equazioni di Einstein generalizzate

(2) R_{j k} - ½ R g _ik = c T_{j k} (i, k = 0, 1.., n)

stabiliscono il legame tra la "curvatura locale" e il "tensore energetico" del campo

(3) T_{j k} = H^s_i H_sk + (1/4) H_rs H^rs g _ik

dove g _ik è la metrica (n + 1)-dimensionale, e otteniamo così la "relatività generale" (n+1)-dimensionale...

Questi modelli di Universo ipersferici S₃, S₄,..., S_n ognuno dei quali contiene i precedenti ed è contenuto nei successivi possono essere interpretati come i "successivi perfezionamenti" della fisica. Otteniamo così una classificazione dei modelli di Universo basata sui numeri interi, come la tabella periodica degli elementi di Mendelejeff.

Ne segue che in fisica abbiamo una doppia descrizione dell'Universo:
(a) in termini di "geometria iperspaziale", in cui intervengono i numeri immaginari;
(b) in termini "fisici" in cui tutte le entità geometriche della teoria hanno una loro interpretazione fisica.
Così, per esempio, nella relatività speciale le rotazioni semplici (x₁, x₄) di un angolo u,
se poniamo x₁ = x e x₄ = ict, danno le trasformazioni di Lorentz con velocità V = -ic tg u.

Per n=4 abbiamo la "relatività speciale proiettiva" (RSP), basata sull'Universo ipersferico S₄ di De Sitter e sul gruppo di Fantappié a 10 parametri. Essa perfeziona in modo univoco la relatività speciale di Einstein e ci fornisce una nuova versione gruppale della cosmologia del big-bang. Questa teoria, da me sviluppata a partire dal 1955, ci permette di ritrovare in forma rigorosa i più importanti risultati della "relatività cinematica" di Milne, della "cosmologia del big-bang", della "cosmologia stazionaria" di Bondi, Gold e Hoyle e della "cosmologia del plasma" di Alfvèn. Infatti, le equazioni di Maxwell generalizzate ci danno nel modo più semplice una teoria unitaria dell'elettromagnetismo e dell'idrodinamica, cioè del campo magnetoidrodinamico.

A partire dal gruppo di Fantappié si può poi costruire la "cosmologia quantistica" valida in un Universo in esplosione-collasso, e invariante per il gruppo di Fantappié.

Se infine consideriamo l'Universo S'₄ globalmente ipersferico e localmente a curvatura variabile, otteniamo la "relatività generale proiettiva" (RGP). In questa teoria, da me sviluppata a partire dal 1964, le equazioni generalizzate (2) di Einstein ci permettono di ritrovare, entro un unico schema logico, i risultati delle varie teorie unitarie (Weyl, Straneo, Kaluza-KIein, Veblen, Jordan Thiry...) e delle generalizzazioni del campo gravitazionale (Brans-Dicke, Rosen, Sciama...), sia pure con una diversa interpretazione fisica.

Per n=5 otteniamo la "relatività conforme proiettiva" (RCP), basata sull'Universo ipersferico S₅, in cui il gruppo delle rotazioni R₆ a 15 parametri contiene i movimenti uniformemente accelerati. Essa ci dà una "teoria unitaria" della magnetoidrodinamica e della gravitazione di Newton.

La "Teoria degli Universi Ipersferici" può essere poi ampliata introducendo gli Universi "entropici-sintropici", a struttura cibernetica, gli Universi n-dimensionali con "simmetrie interne" (con n-4 dimensioni collassate) legati alle particelle elementari e alla supergravità, e gli Universi "complessi", con una parte immaginaria non visibile, che si possono collegare alla fisica quantistica.

Roma, giugno 1998
Giuseppe Arcidiacono

NOTA
Le memorie dei "Collectanea Mathematica" sono state raccolte nei due volumi:
G. Arcidiacono, "La relatività proiettiva"; "Memorie scelte 1958-1988", Ed. Andromeda, (Via S. Allende, 1), 40139 Bologna, 1995 (Tel. 051-490439).

A queste memorie rimandiamo per ulteriori dettagli nei calcoli sulla "relatività proiettiva" (speciale e generale) e sugli Universi Ipersferici.

Le memorie in inglese pubblicate su "Hadronic Journal" si possono richiedere alla: HADRONIC PRESS, INC.
35246 US 19 North # 115, PALM HARBOR, FL 34684, USA

Presso la stessa Casa Editrice è pubblicato il volume:
G. Arcidiacono, "Projective relativity, Cosmology and Gravitation", Hadronic Press, USA, 1986.

Le memorie di Fantappié sono state pubblicate dalla Unione Matematica Italiana, nella collana "I grandi matematici italiani":
L. Fantappié, "Memorie Scelte" - Pitagora Editrice, Via del legatore 3,40138 BOLOGNA

Per la biografia di Fantappié vedi:
G. Arcidiacono, "Fantappié e gli Universi" - Ed. Il Fuoco, Via G. Carini 28, Roma 1986.
"Enciclopedia biografica" della Treccani - Di Renzo Editore, Roma.

Ringrazio mio figlio Carlo che ha elaborato al computer le illustrazioni del testo.

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